RADICE n^ma DI UN NUMERO COMPLESSO

Dato un numero complesso z, in forma trigonometrica:

vogliamo trovare tutti i numeri w:

che siano le radici n^me di z. Per definizione deve risultare z = wⁿ:


Applicando al secondo membro la formula di DE MOIVRE, avremo:


Perchè quest'uguaglianza sia soddisfatta dovrà risultare:


da cui segue che:

Concludendo, diremo che:

dove k può assumere gli n valori 0,1,2,.....(n-1).

Alcuni esempi:

ed ecco le tre radici cubiche del numero 2:

I punti, immagini delle tre radici, sono i vertici del triangolo equilatero inscritto in una circonferenza avente per raggio il modulo:

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ed ecco le quattro radici distinte richieste:


Queste quattro radici quarte hanno per immagine i vertici del quadrato inscritto nella circonferenza che ha per raggio il modulo:

Le radici n-sime di z hanno tutte lo stesso modulo (il raggio della ciconferenza) e per immagini i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto nella suddetta circonferenza.