Sulla sfera terrestre il percorso tra due punti, che taglia i meridiani con angolo costante, è una linea detta lossodromia.

L’angolo costante che il percorso forma con i meridiani si dice	rotta   lossodromica  RV o TC
La distanza percorsa è detta	cammino lossodromico m

N.B.  Questa distanza m tra i due punti non è la più breve sulla sfera


La navigazione lossodromica consente di risolvere due problemi:

• le soluzioni possono essere analitiche o grafiche

Il I° problema

consente di determinare

le coordinate del punto di arrivo B

note la rotta TC, la lunghezza del percorso m e le coordinate del punto di partenza A


Il II° problema

consente di determinare

la rotta TC e la lunghezza del percorso m

note le coordinate del punto di partenza A e quelle del punto di arrivo B


N.B. Se la distanza tra il punto di partenza e il punto di arrivo non supera  i 350 NM e per latitudini minori di 60° la soluzione dei problemi si può svolgere in modo approssimato. Tale approssimazione non è più valida nel caso che i due punti appartengono ad emisferi diversi.

SCHEDA 2/15

I° problema lossodromico

Soluzione analitica

Dati	la rotta TC
	la lunghezza del percorso m  in miglia nautiche NM
	e le coordinate del punto di partenza A
si calcolano	le coordinate del punto di arrivo B

φB = φA + Δφ

λB = λA + Δλ

si calcola in primi	Δλ’ = m x cos TC
si ricava la latitudine di B	φB = φA + Δφ°
si calcola in primi	Δλ' = m' / cos φM
	con m' = m x sin TC
µ è detta allontanamento o appartamento	con φM = (φA + φB) / 2
	Δλ' = m x sin TC / cos φM
da cui si ricava la longitudine di B	λB = λA + Δλ°

La differenza di longitudine Δλ è calcolata mediante la formula approssimata  detta del parallelo medio. Si nota che se i due punti A e B hanno la stessa latitudine la formula è esatta.


Esempio guidato

Risolvere il I° problema lossodromico conoscendo le coordinate del punto di partenza A (25° 35’S   163° 20’ W) la rotta lossodromia TC = 210° o anche TC =  S 30° W e il cammino m = 315 NM

• Determinare le coordinate del punto di arrivo B (φ_B  e λ_B

Δφ’ = m cos TC = 315 x cos 210°	Δφ’ = - 272,7’ = 4° 33’ S
φB = φA + Δφ°	φB = 30°08’ S
µ’ =  m sen TC = 315x sen 210°	µ’ = - 157,5’ = 157,5’ W
φM = (φA + φB) /2 = (25°35’ + 30°08’)/ 2	φM = 27°51’30’’ S
Δλ' = µ’ / cosφM = 157,5’ / cos 27°51’30’’	Δλ’ = - 178’ = 2°58’48’’ W = 2° 59’ W
λB = λA + Δλ°	λB = 166° 19’W

SCHEDA 3/15

II° problema lossodromico

Soluzione analitica

Dati	coordinate del punto di partenza	A (φA λA)
	e coordinate del punto di arrivo	B (φB λB)
si calcolano	la rotta TC e la lunghezza del percorso m

Si calcolano in primi le differenze di latitudine e di longitudine tra il punto di arrivo B e quello di partenza A

Δφ' = φB - φA

Δλ' = λB - λA

e ricava TC espressa in modo quadratale, con la seguente relazione

TC = arctan(Δλ' cos φM / Δφ'

con φM = (φA + φB) / 2

I nomi  della rotta dipendono dai nomi di Δφ e di Δλ.

Per calcolare la distanza lossodromica m  in NM tra i due punti si usano

m  = Δφ’ / cos TC



Esempio guidato

Risolvere il II° problema lossodromico

conoscendo	le coordinate del punto di partenza	A (15°20’ N   178° 25’ W)
	e le coordinate del punto di arrivo	B (18°10’ N   177° 45’ E )

• Determinare la rotta lossodromia TC e il cammino m

Δφ' = φB - φA	Δφ' = 2°50’ N = +170’
Δλ' = λB - λA	Δλ' = 356°10’ E = 3°50’W = - 230’
φM = (φA + φB) / 2 = (15°20’+ 18°10’)/2	φM = 16°45’N
TC = arctan(Δλ' cos φM / Δφ') =arctan((230' / 170) x cos 16°45')
TC =  N 52° W = 308°
m = Δφ' / cos TC = 170' cos 52°	m = 276 NM

SCHEDA 4/15

I° problema lossodromico

Soluzione grafica

Dati	la rotta TC	si calcolano	le coordinate del punto di arrivo B
	la lunghezza del percorso m in NM
	e le coordinate del punto di partenza A

Su un foglio di carta quadrettato stabilita la scala in  NM si possono determinare Δφ’ e Δλ’.






Dal punto A si disegna una semiretta orizzontale AX e ancora da A si disegna, in base alla scala della foglio, un segmento inclinato di 90° - TC e di lunghezza pari ad alla distanza lossodromica m. L’estremo del segmento individua il punto B.  Da B si traccia la perpendicolare che incontra nel punto H la semiretta AX. La lunghezza del segmento BH rappresenta la differenza di latitudine Δφ  in primi.

Il triangolo ora costruito è detto Triangolo di rotta.
Si determina così φ_B = φ_A + Δφ°

La lunghezza del segmento AH individuato sulla semiretta AX rappresenta il valore del allontanamento µ.

Dal punto A si traccia una semiretta inclinata del valore della latitudine media φ_M, questa incontra la perpendicolare condotta da B nel punto L. La lunghezza del segmento AL rappresenta la differenza di longitudineΔλ espressa in primi.

Il triangolo ora costruito è detto Triangolo del parallelo medio.

Si determina così λ_B = λl_A + Δλ°



Risolvere  graficamente il I° problema lossodromico dell’esempio guidato

Le coordinate del punto di partenza	A (25° 35’S   163° 20’ W)
la rotta lossodromia	TC = 210° o anche TC =  S 30° W
e il cammino m = 315 NM
Si sceglie la scala	1 cm = 30 NM o 30’
Si utilizza la rotta espressa in modo quadratale	TC =  S 30° W
Si disegna il triangolo di rotta, prima la semiretta AX e da A si traccia il segmento	AB = 315 NM = 10.5 cm
inclinato rispetta al semiretta AX di un angolo	90°- 30° = 60°
Dal punto B individuato, si traccia la perpendicolare alla semiretta AX  il segmento BH così individuato è  Δφ
la sua lunghezza  è	BH = 9,1cm = 273’
Corrispondente  a	δφ’ = 273’ S  = 4° 33’ S
il nome  Sud è fornito dalla rotta, si calcola φB con la relazione φBφA + Δφ°	φB = 30°08’ S
Si disegna il triangolo del parallelo medio, calcolando la latitudine media φM = (φA + φB) / 2 = (25°35’ + 30°08’) / 2	φM = 27°51’30’’ S
e tracciando un segmento AL inclinato di φM cioè circa	28°
fino ad incontrare la perpendicolare AH del triangolo di rotta la lunghezza del segmento AL  è	AL= 5,9 cm = 177’
corrispondente a	Δλ' =  177’ W = 2° 57’ W
il suo nome West è fornito dalla rotta,
si calcola  λB con la relazione λB = λA + Δλ°	λB = 166° 19’W

N.B. Le misure prese non sono mai precise questo comporta che i risultati sono leggermente approssimati rispetto ai risultati analitici.

SCHEDA 6/15

II° problema lossodromico

Soluzione grafica

Dati	coordinate del punto di partenza	A (φA λA)
	e coordinate del punto di arrivo	B (φB λB)
si calcolano	la rotta TC e la lunghezza del percorso m

Si calcolano in primi le differenze di latitudine e di longitudine tra il punto di arrivo B e quello di partenza A  e la latitudine media con i loro nomi

Δφ = φB - φA

Δλ = λB - λA

φM = (φA + φB) / 2

Su un foglio di carta quadrettato stabilita la scala in primi si disegna  prima il Triangolo del parallelo medio.




Si traccia dal punto A una semiretta orizzontale AX e sempre da A si riporta, un segmento inclinato verso il basso di φ_M e di lunghezza pari a Δλ in primi, individuando il punto L. Dal punto L si traccia la perpendicolare alla semiretta AX si ottiene così il triangolo suddetto.

L’intersezione della perpendicolare con la semiretta AX individua il punto H  e la lunghezza del segmento AH rappresenta l’allontanamento µ.

Prolungando verso l’alto la perpendicolare alla semiretta AX  di un segmento pari alla lunghezza di Δφ in primi si individua il punto B.

Si unisce il punto B con A ed l’angolo che tale segmento forma in B fornisce la rotta TC espressa in modo quadratale,




mentre la lunghezza del segmento AB determina la distanza lossodromica m espressa in primi. I nomi  della rotta  dipendono dai nomi di Δφ e di Δλ.

Il triangolo così costruito è detto Triangolo di rotta.

Risolvere  graficamente il II° problema lossodromico dell’esempio guidato

Dati:	le coordinate del punto di partenza	A (15°20’ N  178° 25’ W)
	e le coordinate del punto di arrivo	B (18°10’ N  177° 45’ E)

Si calcolano in primi le differenze di latitudine e di longitudine tra il punto di arrivo B e quello di partenza A  e la latitudine media con i loro nomi

Δφ’ =  φB - φA	Δφ’ = 2°50’ N = +170’
Δλ’ =  λB - λA	Δλ’ = 356°10’ E = 3°50’W = - 230’
φM = (φA + φB) / 2	φM = 16°45’N
Si sceglie la scala	1 cm = 20 NM o 20’
Si disegna il triangolo del parallelo medio rappresentando la retta AX e inclinato verso il basso di φM cioè  di circa  17° il segmento AL di lunghezza pari a	AL = 11,5 cm
corrispondente a Δλ in primi e di nome West
Si prosegue disegnando il triangolo di rotta Da L si conduce la perpendicolare alla semiretta AX  si incontrano in H Da H si disegna un segmento perpendicolare ancora ad AX Il segmento BH è di lunghezza pari a	BH = 8,5 cm
Corrispondente a Δφ in primi e di nome Nord
Infine si congiunge il punto B con A La lunghezza del segmento AB	AB =  13.8 cm = 276 NM
Corrisponde alla distanza lossodromia	m
E la misura dell’angolo formato tra BH e AB è circa	52°
Corrispondente al valore della rotta lossodromia	TC =  N 52° W
espressa in modo quadratale
e di valore circolare pari a	TC = 308°

N.B. Le misure prese non sono mai precise questo comporta che i risultati sono leggermente approssimati rispetto ai risultati analitici.




Risolvere il I° problema lossodromico

ESERCIZIO N°1

Dati:	Punto di partenza	A (25° 35’S   163° 20’ W)
		TC = 210° = S 30° W
		m = 315 NM

• Determinare le coordinate del punto B

Svolgimento

Si calcola la differenza di latitudine: Δφ’ = m cos TC = 315 x cos 210° =  - 272,7’ oppure Δφ’ = 315 x cos 30° =  272,7’ S con nome fornito dalla rotta quadrantale	Δφ’ = 4° 33’S
si calcola la latitudine di arrivo: φB = (φA + Δφ° = 25° 35’S  + 4° 33’S	φB = 30°08’S
si calcola la latitudine media: φM = (φA + φB) / 2 = (25° 35’S +30°08’S) / 2	φM = 27°51’30’’S
si calcola l’allontanamento: µ’ =  m sen TC = 310 x sen 210°= - 157,5’ = 157,5 W oppure  µ’ =  310 x sen 30° = 157,5’ W con nome fornito dalla rotta quadrantale
Si calcola la differenza di longitudine: Δλ’ = µ / cosφM = - 157,5’/cos 27° 51.5’ = - 178’ = 2°58’48’’ W	Δλ’ = 2° 59’ W
i calcola la longitudine di arrivo: λB = λA  + Δλ°	λB = 166° 19’W

Osservazione: Se la rotta è espressa in modo quadratale  il nome di  Δφ  e Δλ  è dato dai punti cardinali presenti nella rotta. Il loro valore numerico di  Δφ  e Δλ , a meno del segno, è lo stesso utilizzando nelle formule l’angolo quadrantale della rotta



ESERCIZIO N°2

Dati:	Punto di partenza	A (35° 45’N   110° 20’ E)
		TC = 180° = S
		m = 280 NM

• Determinare le coordinate del punto B

Svolgimento

Si calcola la differenza di latitudine: Δφ’ = m cos TC = 280 x cos 180° =  - 280’ con nome fornito dalla rotta quadrantale	Δφ’ =  4° 40’S
si calcola la latitudine di arrivo: φB = φA+ Δφ° = 35° 45’N  + 4° 40’S	φB =   31°05’N
si calcola la latitudine media: φM = (φA + φB) /2 = (35° 45’N + 31°05’S)/2	φM = 33°25’ N
si calcola l’allontanamento: µ’ =  m sen TC = 280 x sen 180°= 0
Si calcola la differenza di longitudine: Δλ’ = µ / cosφM = 0	Δλ = 0
si calcola la longitudine di arrivo: λB = λA  + Δλ°	λB = 110° 20’E

Nell’esercizio n°2 è sufficiente calcolare solo Δφ e φ_B

Osservazione: Quando la rotta seguita è per Nord  (TC = 0°)  oppure per Sud (TC = 180°)  il percorso seguito è quello lungo il meridiano. Esiste solo lo spostamento in latitudine ossia la latitudine di arrivo è diversa da quella di partenza mentre la longitudine di arrivo è la stessa di quella di partenza in sintesi (φ_B diversa da φ_A mentre λ_B = λ_A).



ESERCIZIO N°3

Dati:	Punto di partenza	A (30° 15’S   65° 10’ W)
		TC = 90° = E
		m = 150 NM

• Determinare le coordinate del punto B

Svolgimento

Si calcola la differenza di latitudine: Δφ’ = m cos TC = 150 x cos 90° = 0	Δφ =   0
si calcola la latitudine di arrivo: φB = φA+ Δφ° = 30° 15’S  + 0	φB =   30°15’S
si calcola la latitudine media: φM = (φA + φB) /2 = (30° 15’S + 30°15’S)/2	φM = 30°15’ S
si calcola l’allontanamento: µ’ =  m sen TC = 150 x sen 90°=  150’ = 150’ E che risulta uguale al cammino m
Si calcola la differenza di longitudine:  Δλ’ = µ / cosφM =  150’/cos 30° 15’ = + 173,6’ = 2°53’36’’ E	Δλ’ = 2° 53,6’ E
si calcola la longitudine di arrivo: λB = λA  + Δλ°	λB = 62° 16.4’ W

Nell’esercizio n° 3 è sufficiente calcolare solo Δλ e poi λ_B 

Osservazione: Quando la rotta seguita è per Est  (TC = 90°)  oppure per West (TC = 270°)  il percorso seguito è quello lungo il parallelo del punto di partenza. Esiste solo lo spostamento in longitudine ossia la longitudine di arrivo è diversa da quella di partenza mentre la latitudine di arrivo è la stessa di quella di partenza in sintesi (φ_B =  φ_A mentre λ_B e diversa da  λ_A).



Risolvere il II° problema lossodromico

ESERCIZIO N°4

Dati:	punto di partenza	A (25°30’ S   172° 45’ E )
	punto di arrivo	B (22°50’ S   178° 05’ E)

• Determinare la rotta lossodromia TC e il cammino m

Svolgimento

Si calcola Δφ  Δλ Δφ’ =  φB - φA	Δφ’ = 2°40’ N = +160’
Δλ’ =  λB - λA	Δλ’ =  5°20’ E = + 320’
si calcola la latitudine media:   φM = (φA + φB) /2 = (25°30’+ 22°50’)/2	φM = 24°10’S
si calcola la rotta TC = arctan(Δλ’ cos φM / Δφ’) = arctan ((320 x cos 24°10’ )/160’ ) = arctan (292’/160’ )
Espressa in modo quadrantale	TC =  N 61° E
E poi in modo circolare	TC = 61°
Si calcola la distanza lossodromica m   m = Δφ’ / cos TC = 160’/ cos 61°	m = 330 NM

ESERCIZIO N°5

Dati:	punto di partenza	A (45°20’ S   142° 25’ W)
	punto di arrivo	B (45°20’ S   140° 05’ W)

• Determinare la rotta lossodromia TC e il cammino m

Svolgimento

Si calcola Δφ Δλ Δφ’ =  φB - φA	Δφ = 0
Δλ’ =  λB - λA	Δλ’ =  2°20’ E = + 140’
in questo caso lo spostamento è lungo il parallelo del punto A essendo le due latitudini uguali e verso Est
la rotta è	TC = 90°
mentre la distanza da percorrere m è l’arco di parallelo corrispondente a alla differenza di longitudine  tra i due punti ottenuta con la relazione esistente tra arco di parallelo e il corrispondente arco di equatore
AB = Dλ’ x cos φA	AB = 140 x cos 45° 20’ = 98,4’
Il cammino lossodromico  m è	m = 98,4 NM

ESERCIZIO N°6

Dati:	punto di partenza	A (15°20’ S   152° 25’ E)
	punto di arrivo	B (12°10’ S   152° 25’ E)

• Determinare la rotta lossodromia TC e il cammino m

Svolgimento

Si calcola Δφ  Δλ
Δφ’ =  φB - φA	Δφ’ = 3° 10’ N = + 190’
Δλ’ =  λB - λA	Δλ’ =  0
in questo caso lo spostamento è lungo il meridiano  di A che è lo stesso del punto B ed è  verso Nord
la rotta è	TC = 0°
mentre la distanza da percorrere m è l’arco di meridiano compreso tra i paralleli di A e di B e pari alla differenza di latitudine tra i due punti
Il cammino lossodromico  m è uguale a Δφ’	m = 190’ = 190 NM

FORMULARIO PER LA LOSSODROMIA









Determinare le coordinate del punto di arrivo B

Esercizio n 1
A (20°15’N, 140°20’ E ) e con TC = N 45° W e  m = 320 NM.
Soluzione (φ_B = 24°01’ N  λ_B = 136°16’E )


Esercizio n 2
A (50°15’N, 150°50’ E ) e con TC = 225°  e  m = 240 NM.
Soluzione (φ_B = 47°25’ N λ_B = 146°32’E)

Esercizio n 3
A (43°35’S , 143°25’ W) e con TC = N 30° W e  m = 355 NM.
Soluzione   (φ_B = 38°28’ S   λ_B = 147°35’ W)

Esercizio n 4
A (35°35’S, 153°20’W ) e con TC = 210° e  m = 305 NM.
Soluzione   (φ_B = 39°59’ S   λ_B = 156°33’ W)

Esercizio n 5
A (15° 30’S   176°40’ E) e con   TC = N 16° W e  m = 120 NM.
Soluzione   (φ_B = 13°35’ S   λ_B = 176°06’ E)




Determinare la rotta lossodromia TC e il cammino m

Esercizio n 1
Tra i punti  A (30°20’S   130°20’W )  e B (32°10’S   128°50’ W).  
Soluzione  (TC =˜S 35° E = 145°  m = 134,2 NM )

Esercizio n 2
Tra i punti  A  (20°20’S   150°30’W )  e B (22°10’S  148°20’ W).  
Soluzione  (TC =˜S 48° E = 132°  m = 164,3 NM )

Esercizio n 3
Tra i punti  A (34°50’N   140°30’E )  e B (38°10’N  139°40’ E).  
Soluzione  (TC =˜N 11° W = 349° m = 203,7’ NM )

Esercizio n 4
Tra i punti  A (20°40’N   160°20’E )  e B (18°10’N  159°45’ E).  
Soluzione  (TC =˜S 12° W = 192° m = 153,6 NM )

Esercizio n 5
Tra i punti A (30°25’S 156°40’E) e B (28°40’S   158°20’ E)
Soluzione  (TC =  N 40° E  = 40°   m = 136,3 NM )