. DAGLI  EVENTI ALLA  PROBABILITA' . In molti esperimenti è possibile definire a priori il numero dei casi favorevoli f e quello dei casi possibili n, Secondo la definizione Classica di PROBABILITA’, diremo probabilità di un evento (E) il rapporto tra il numero dei casi favorevoli f e quello dei casi possibili n, (a patto che tutti i casi siano ugualmente possibili). P(E) = f / n  In base alla sua stessa definizione, la probabilità è sempre un valore compreso tra 0 e 1 inclusi. - Per  f = 0, cioè se non si hanno casi favorevoli l'evento dicesi  evento impossibile,  e si indica con la lettera Ø  e la sua probabilità  vale 0. P(Ø) =  0 / n   = 0 .  se tutti i casi sono favorevoli l'evento dicesi evento certo e si indica con la lettera W P(W) = n/ n = 1  la relativa probabilità vale 1. . Universo degli eventi . Tale è l'insieme formato da tutti gli eventi elementari relativi ad un accadimento. Nel caso del lancio di una moneta, ad esempio, l'insieme di tutti gli eventi elementari  sono: testa T, e croce C quindi l'universo degli eventi  { T, C } è composto da  due soli elementi. . . universo degli eventi       TEOREMA DELLA PROBABILITA’ CONTRARIA . Considerato l’evento Eed il suo opposto E la relazione fra le due probabilità sarà ovviamente P(E) = 1-P(E) visto che P(E) + P(E) =1 .   prob. contraria
 
    TEOREMA DELLA PROBABILITA’ TOTALE  È ( Per eventi     Incompatibili )  . La probabilità dell’evento unione di due eventi incompatibili è la somma delle probabilità dei singoli eventi. P { E₁ È E₂ } = P { E₁ } + P { E₂ } nel caso di  tre eventi incompatibili: P { E₁ È E₂ .....È E_i } = P { E₁ } + P { E₂ } + ..... + P { E_i } Esempi   prob.totali di eventi incompatibili
 
  TEOREMA DELLA PROBABILITA’ TOTALE  È (Per eventi Compatibili) . La probabilità dell’unione di due eventi compatibili E₁ ed E₂ è uguale alla somma delle probabilità di ciascun evento diminuita della probabilità dell’evento intersezione dei due dati. P { E₁ È E₂ } = P { E₁ } + P { E₂ } – P {E₁ Ç E₂ } nel caso di tre eventi le cose sembrano complicarsi un poco: P { E₁ È E₂ È E₃ } = P { E₁ } +P  { E₂ } +  P { E₂ }          – P { E₁ Ç E₂ } –P {E₁ Ç E₃ } –P { E₂ Ç E₃ } +P {E₁ ÇE₂Ç E₃ } Potremo dire che la probabilità totale di più eventi compatibili è uguale: ad un vero sciogli-lingua. Esempi   prob.totali di eventi Compatibili TEOREMA DELLA PROBABILITA’ COMPOSTA  Ç (Per eventi  Indipendenti  )   . La probabilità dell’evento intersezione di due eventi indipendenti è uguale al prodotto delle  singole probabilità degli  eventi. . P { E₁ ÇE₂ } = P { E₁ } · P { E₂ } Si noti che per comporre gli eventi questi debbono essere di necessità  compatibili Esempi. Probabilità comp. even. indip. TEOREMA DELLA PROBABILITA’ Condizionata (Per eventi  Dipendenti ) .  L' intersezione (E₁Ç E₂ ) può essere interpretatotato come un sotto insieme dell'insieme universo E₁ od all'opposto come un sotto insieme dell'insieme universo E₂ Nel primo caso parleremo di P { E₂ se E₁ } od anche P { E₂ / E₁ } = = P { E₁ ÇE₂ } / P { E₁ } indicando la probabilità condizionata di P { E₁ ÇE₂ } in rapporto alla probabilità di E₁ Nel secondo caso parleremo di P { E₁ se E₂ } od anche P { E₁ / E₂ } = = P { E₁ ÇE₂ } / P { E₂ } indicando la probabilità condizionata di P { E₁ ÇE₂ } in rapporto alla probabilità di E₂ . Esempi.   TEOREMA DI  BAYES Sulla probabilità Condizionata Dalla relazione precedente: P { E₁ / E₂ } = = P { E₁ ÇE₂ } / P { E₂ } Ricavando il valore di : P { E₁ ÇE₂ } otteniamo  P { E₁ ÇE₂ }= P { E₂ } · P { E₁ / E₂ } Dalla seconda otteniamo anche : P { E₂ / E₁ } = = P { E₁ ÇE₂ } / P { E₁ } Ricavando il valore di : P { E₁ ÇE₂ } otteniamo  P { E₁ ÇE₂ }= P { E₁ } · P { E₂ / E₁ } Mettendo a confronto ricaviamo: P { E₂ } · P { E₁ / E₂ }=  P { E₁ } · P { E₂ / E₁ } che consente di ricavare P { E₁ / E₂ }  in funzione di P { E₂ / E₁ } o viceversa. Speranza matematica Partendo dal  presupposto che: la probabilità di un evento è rappresentato dal rapporto fra il prezzo c che un individuo coerente ritiene giusto scommettere e la somma S che ha diritto di avere in cambio se l’evento si verifica, perdendo invece la somma  se l’evento non si verifica. P(E) =  (c) / S da cui c = S · P(E) è il prezzo equo "c" si definisce Speranza matematica esempio esercizio . Esempi Esempio  n° 001   ( Universo degli eventi e probabilità ) . Vogliamo calcolare la Probabilità dell’evento P(3),( uscita del numero 3 ) Universo degli eventi { 1,2,3,4,5,6 } . Casi possibili.... 6 . Casi favorevoli... 1 . P(3) = 1/6. . universo degli eventi Esempio prob. contraria   n° 002 sempre nel caso di un dado La probabilità  P(3)che  non esca il numero 3 avremo: Casi possibili .....n° 6 Casi favorevoli....n° 5 P(3)=   5/6 ma anche P(3) = 1 - P(3)  =   5/6 . prob. contraria ESEMPIO n°003 Probabilità totali (  eventi       Incompatibili ) Sempre nella situazione dell' esercizio precedente, si vuole calcolare la probabilità dell’evento F  {"esce un fante"o {"un 2 di bastoni"} ,  F = ( E₁È E₁ ) 1)    Gli eventi sono incompatibili pertanto :  P(F) = P(E₁) + P(E₂) P(E₁) = 4/40 =1/10 ( 4 fanti su 40 carte ) P(E₂) = 1/40 ( un solo 2 di  bastoni su 40 carte ) è P(E) = ( 1/10 )+ ( 1/40 ) =5/40 =1/8 . ( Ancora eventi incompatibili ) Data un urna contenente sei palline contrassegnate dai numeri da uno a sei Calcoliamo la probabilità che, estraendo una sola pallina essa sia contrassegnata da un numero pari.  L'universo degli eventi { 1,2,3,4,5,6 } gli eventi favorevoli sono { 2,4,6 } l'evento "uscita del n° 2" comporta la non uscita di qualsiasi altro numero poiché possiamo estrarre  una sola pallina. Così come l'eventuale uscita del  4  o del  6 avrebbe escluso l'uscita delle altre che per questa ragione risultano essere  eventi  fra loro incompatibili. . Quando abbiamo a che fare con eventi di questo tipo, e cioè  incompatibili, possiamo sommare la probabilità dei singoli eventi. Nel nostro esempio, dato che ogni numero  ha 1/6 di probabilità ed i numeri pari sono 3 : P { E₁ È E₂È E₃   } = P { E₁ }+ P { E₂ }+P { E₃ } P { 2È 4È 6 } = P { 2}+ P { 4 } + P { 6 } = =1/6+1/6+1/6= = 3/6 = 1/2 . .. Prob. tot. eventi incompatibili . ESEMPIO n°004 Probabilità totali (     eventi       Compatibili ) Supponiamo di estrarre da un mazzo di carte da gioco una sola carta. L’evento E₁"estrazione di una carta rossa" e l’evento E₂ "estrazione di una figura" rappresentano due eventi compatibili, perché è possibile estrarre una figura rossa risultato che soddisferebbe le due gli condizioni, come ad esempio nel caso del fante di quadri o di cuori . L'insieme delle carte rosse e delle figure hanno un sotto insieme comune non vuoto. . La Probabiltà totale ( eventi       Compatibili ) Gli alunni di una classe sono 30: di questi 10 giocano a calcio, 8 a tennis, 4 ad entrambi. Se l’insegnante di educazione fisica ne chiama uno a caso, che probabilità abbiamo che questo ragazzo sia in grado di praticare almeno una delle attività considerate? .  (10 su 30 giocano a calcio) P(E₁ )=   10/30  =  1/3 (8 su 30 giocano a tennis) P(E₂ ) = 8/30 = 4/15 ( 4 praticano entrambi gli sport) P(E₁ ÇE₂ ) = 4/30 = 2/15 la probabilità totale cercata per eventi compatibili: P(E₁ ÈE₂ )  = P(E₁ ) + P(E₂ ) - P(E₁ ÇE₂ ) 1/3 + 4/15 – 2/5 = 7/15  . Prob. tot. eventi Compatibili .Esempio    n°005   Probabilità composta ( eventi       indipendenti ) Immaginiamo ora di voler calcolare la probabilità che, lanciando un dado, venga fuori due volte di seguito il numero 5, o che, lanciando due dadi, da entrambi esca il numero 5. In ogni caso, con due dadi o con due lanci, si tratta di : eventi indipendentiE₁ ed E₂ poichè quello che succede su un dado o su un lancio non influenza quello che succede sull’altro. La probabilità di questo evento composto di eventi indipendentiE₁ ed E₂ sarà :  (un caso favorevole su sei possibili) P(E₁ ) = 1/6 (un caso favorevole su sei possibili) P(E₂ ) = 1/6 P(E)  =P(E₂ ÇE₁  ) = = P(E₂  ) · P(E₁ ) Dobbiamo quindi moltiplicare la probabilità del primo (1/6) per quella del secondo (1/6) : è P(E) = (1/6) · (1/6) = 1/36 (prodotto delle probabilità) il prodotto (1/36) è la probabilità composta dei due eventi indipendenti. . Fine esempio

ESEMPIO n°006 ESEMPIO  n° 006 Probabilità Composta eventi ( indipendenti ) Si estrae una carta da un mazzo di 40 e la si reinserisce  nel mazzo stesso  dopo aver annotato l'esito . Si vuole calcolare la probabilità dell’evento composto {E} = { " esca un fante ed esca una carta di bastoni " } Possiamo notare che: 1)  L’evento E è la combinazione di due eventi elementari E₁: "la  carta estratta è un fante" ed E₂: "la  carta estratta è di bastoni". . 2)   E₁e E₂risultano eventi compatibili . 3)   E rappresenta la loro intersezione, E  =E₂ÇE₁ . 4)   Il verificarsi del primo evento non modifica la probabilità che si verifichi il secondo, quindi i due eventi sono indipendenti. . Pertanto possiamo concludere: . P(E₁ ) = 4/40 =1/10  ( 4 fanti su 40 carte ) P(E₂ ) = 10/40 = 1/4  ( 10 bastoni su 40 carte ) P(E)  =P(E₂ ÇE₁ ) = = P(E₂ ) · P(E₁) è P(E) = (1/4) · (1/10) = 1/40 (prodotto delle probabilità) .

Fine teoria delle prob. . ESERC .