SOLUZIONI SCHEDA n.4 - LE FUNZIONI
Una funzione è una corrispondenza univoca f tra due insiemi A e B, vale a dire una relazione che ad ogni elemento x dell'insieme A associa uno e un solo elemento y dell'insieme B.
L'insieme A si chiama il dominio della funzione, mentre l'insieme B si chiama il codominio.
I valori scelti nel dominio vengono rappresentati da una variabile detta indipendente, mentre la variabile che descrive i valori corrispondenti nel codominio viene detta dipendente.
Una funzione si indica con la scrittura: y = f (x).
Non bisogna confondere f con f(x), infatti f(x) è il valore che assume l'elemento di B corrispondente all'elemento x di A , mentre f indica la legge di corrispondenza.
Campo di esistenza o dominio di una funzione è l'insieme dei valori di x cui è possibile far corrispondere uno ed un solo valore y di B.
Codominio di f è l'insieme dei valori y di B corrispondenti ai valori x di A.
Un funzione f : A® B è biiettiva o biunivoca se ogni elemento di B è immagine di uno e un solo elemento di A.
Se f : A ® B è biunivoca allora f è invertibile e la sua inversa si indica con f ¯¹: B ® A
f ¯¹ è tale che:
| f ¯¹( f (x)) = x | " x Î A | e | f ( f ¯¹( y)) = y | " y Î B. |
Data la funzione y = f(x), si dicono zeri della funzione i valori della variabile x in cui la funzione assume valore 0. Si chiamano di solito punti stazionari quelli la cui tangente è orizzontale.
x ---------------à g(x) ----------------à y = j (x) = f(g(x))
La funzione y = j (x) si dice composta perché dato un valore ad x, per trovare y bisogna passare attraverso altre funzioni intermedie. L'azione di j può essere pensata come il risultato di una successione di due operazioni: la prima funzione ad agire sull'elemento x è g, successivamente f agisce sul risultato g(x) così ottenuto.
SOLUZIONE ESERCIZIO n.1
L'argomento del logaritmo deve essere positivo. Quindi il c.d.e. è dato da (x < 0) È ( x >2)
SOLUZIONE ESERCIZIO n.2
SOLUZIONE ESERCIZIO n.3
La 1) non è una funzione iniettiva nel campo reale, infatti, per esempio al valore |x| = 7 corrispondono due elementi del suo campo di esistena x = -7 e x = 7. Non si tratta, quindi, di una funzione invertibile in tutto il suo dominio.
La 2) è una funzione biiettiva nel campo reale, quindi esiste la funzione inversa è:
f -1 (x) = x/4
La 3) è una funzione biiettiva nel campo reale, quindi invertibile. La sua inversa è :
f -1 (x) = ³Ö x
La 4) è una funzione biiettiva nel campo reale, quindi invertibile e la sua inversa è:
f -1 (x) =lnx
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