Uno dei primi argomenti affrontati da CANTOR fu il bimillenario conflitto tra l'infinito potenziale e l'infinito attuale. Sin dai tempi dell'antica Grecia, scienziati e filosofi si erano resi conto delle difficoltà che derivavano dal concetto di infinità. La soluzione adottata per molti secoli fu quella proposta da ARISTOTELE:
"INFINITUM ACTU NON DATUR"
che negava decisamente l'esistenza dell'infinito come attributo di una realtà.
Cantor afferma che due insiemi sono equipotenti se tra essi si può stabilire una corrispondenza biunivoca; inoltre afferma che di due insiemi uno ha potenza maggiore dell'altro se una parte del primo può essere posta in corrispondenza biunivoca con il secondo, ma non viceversa.
Consideriamo la serie dei numeri naturali: 1, 2, 3, 4,…………..
e la serie dei quadrati dei numeri naturali: 1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=16,………..
E' evidente che la seconda serie, rispetto alla prima sembra contenere un numero minore di elementi, ma è pure evidente che le due serie hanno lo stesso numero di elementi poiché i termini della seconda serie possono essere posti in corrispondenza biunivoca con quelli della prima.
Il concetto di equipotenza di insiemi è molto semplice se si tratta con insiemi finiti:
due insiemi finiti sono equipotenti se hanno lo stesso numero di elementi.
Tra gli insiemi infiniti il concetto di equipotenza non è più tanto semplice. Cantor assume come definizione di insieme infinito proprio quella caratteristica contraddittoria di tali insiemi:
un insieme è infinito quando e soltanto quando può essere posto in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria
La corrispondenza biunivoca come metodo per confrontare insiemi infiniti era stata già accennata da GALILEI, il quale però non osa affermare che i numeri quadrati sono tanti quanti tutti i numeri, perché ciò gli appariva troppo in contrasto con inveterate abitudini di pensiero.