VERSO LA MODERNIZZAZIONE: LA CRITICA DEI FONDAMENTI

La matematica moderna deve gran parte dei suoi progressi ad una revisione critica dei propri fondamenti. La spinta per questo processo è venuta dalla scoperta di alcuni paradossi insiti nella costruzione delle teorie matematiche.

La strada per uscire dall’imbarazzo destato dai paradossi è apparsa essere quella del rigore formale.

A partire dal 1800 si iniziano le indagini sui fondamenti dell’analisi, che presto dovevano estendersi ai fondamenti della geometria e, più tardi, della logica.

LOBACEVSKIJ (1792-1856) BOLYAI (1802-1900) RIEMANN (1826-1866) ritengono possibili e costruiscono "nuove geometrie", nelle quali non vale il postulato dell’unicità della parallela condotta, in un piano, per un punto ad una retta. (Si vedano le geometrie non euclidee )

BOOLE (1815-1864) e DE MORGAN (1806-1871) inventano nuovi tipi di calcolo, introducono operazioni non aritmetiche su "oggetti" che non sono gli ordinari numeri.

Già, quindi, verso la metà del secolo scorso prende corpo l’idea della matematica come studio di relazioni formali. In questo stesso periodo si hanno le prime impostazioni assiomatiche consapevoli e sistematiche.

Questo procedimento di formalizzazione si perfeziona, si approfondisce, si generalizza acquistando piena consapevolezza di sé tra la fine dell’800 e l’inizio del ‘900. Si passa allora dalla concezione ASSIOMATICO-DEDUTTIVA a quella:

IPOTETICO-DEDUTTIVA

Quest’ultima individua i suoi principi scegliendoli con una certa libertà. Se per gli antichi la matematica era una scienza di verità assolute a-priori, adesso diventa uno sviluppo logico di conseguenze dedotte da ipotesi assunte arbitrariamente.

Gli assiomi non sono più proprietà evidenti relative ad enti già definiti (oggettivamente esistenti nel mondo delle idee), ma regole, relazioni formali che definiscono esse stesse gli enti dei quali si parla. Tali enti esistono solo quando gli assiomi vengono formulati, non prima di essi. La grande novità è la definizione assiomatica degli enti fondamentali, che possono essere oggetti di natura qualsiasi, purchè verifichino gli assiomi. A loro volta gli assiomi non sono proprietà evidenti, sono proprietà formali che possono essere scelte ad arbitrio purchè non implichino contraddizioni.

Da quel gruppo di ipotesi arbitrarie si traggono tutte le possibili deduzioni logiche, costruendo risultati applicabili a tutte quelle teorie che costituiscono una traduzione (modello) del sistema di assiomi.

La "verità" delle teorie matematiche non sta più nella pretesa che i postulati siano affermazioni assolute, valide al di fuori e al di sopra del nostro atto di pensiero, ma consiste invece nella perfetta consequenzialità dei ragionamenti che portano da premesse liberamente assunte ( che caratterizzano e implicitamente definiscono gli enti primitivi ) ai risultati successivi.

I teoremi sono ottenuti dagli assiomi con l’ausilio esclusivo dei principi della logica. L’attenzione dei logici si sposta dal concetto di verità a quello di dimostrabilità.

L’impostazione della matematica come sistema ipotetico-deduttivo dà origine a questioni logiche che non esistevano nella concezione classica e, precisamente impone l’obbligo di garantire la:

COERENZA (compatibilità o non contraddittorietà) degli assiomi : essi non devono contenere due affermazioni opposte e inoltre occorre che tutte le possibili proprietà dedotte da essi, anche le più remote siano prive di contraddizioni. L’arbitrarietà della scelta degli assiomi sotto la sola condizione di coerenza, in linea di principio, è stata una grande conquista del pensiero e insieme un enorme progresso per la matematica.

La seconda condizione, meno rigida della prima, è l’ INDIPENDENZA degli assiomi, cioè il fatto che nessuno di essi deve contenere un’affermazione che possa dedursi come conseguenza dai rimanenti. Un tale assioma risulterebbe allora superfluo o, per meglio dire, diverrebbe un teorema.

Dal punto di vista strettamente matematico la questione dell’indipendenza di un assioma dai rimanenti, in un dato sistema ipotetico-deduttivo, si pone però nel modo che ora cerchiamo di chiarire. L’assioma N è indipendente dagli assiomi 1, 2, ….N-1 se c’è un "modello" nel quale sono verificati i primi N-1 assiomi, ma non l’ultimo.

E’ evidente che, mentre la compatibilità dei postulati è condizione categorica, l’indipendenza è più che altro una questione di eleganza logica e di semplicità che non ha valore imperativo.

La terza condizione è la COMPLETEZZA (sufficienza) degli assiomi, cioè il fatto che gli assiomi siano sufficienti a generare tutte le formule tautologiche, ossia tutte le verità logiche esprimibili nell’ambito del sistema.

Ogni proposizione vera esprimibile nel sistema deve essere formalmente deducibile dagli assiomi. Rinunciando all'intuizione, ogni dimostrazione matematica deve consistere in una serie di passaggi che obbediscano a leggi logiche e aritmetiche ben definite e verificabili in modo automatico. Ogni enunciato deve essere dimostrabile o confutabile, ossia DECIDIBILE.

Questo progetto, enunciato dal matematico tedesco DAVID HILBERT, è stato vigorosamente seguito nei primi decenni del secolo, fino a quando l'austriaco KURT GÖEDEL ha dimostrato nel 1931 che anche l'approccio formalista aveva i suoi limiti.

(fonte: Lucio Lombardo Radice - Istituzioni di algebra astratta - Feltrinelli)




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