KURT GÖEDEL (1906-1978 ) ha legato il suo nome, nel 1931, ad un teorema che ha rivelato l'illusorietà di questa istintiva convinzione dei matematici. Egli ha dimostrato che un sistema formale coerente e sufficientemente complesso da esprimere le leggi dei numeri naturali e le operazioni elementari dell'aritmetica, è insanabilmente INCOMPLETO.

Il formalismo hilbertiano non è riuscito a dimostrare con mezzi formali la coerenza dell'aritmetica formalizzata. GÖEDEL ha anzi fatto vedere che una tale dimostrazione è impossibile:

"Non si potrà mai far vedere matematicamente che la matematica è scevra di contraddizioni. La matematica non è capace di autofondazione, deve essere fondata dal di fuori"

"non può esistere un metodo che consenta di stabilire per qualunque enunciato della matematica se è vero o falso"

Poiché sistemi assiomatici coerenti non consentono di dimostrare tutti gli enunciati veri sull'argomento che tentano di formalizzare, tali sistemi sono detti INCOMPLETI, ed il teorema di Göedel è ricordato come TEOREMA DI INCOMPLETEZZA. E' evidente che i lavori di Kurt Göedel hanno segnato una svolta fondamentale nella storia della logica, portando sostanzialmente ad un duplice risultato:

1) incompletezza delle teorie formali

2) impossibilità di dimostrare all'interno delle stesse la loro coerenza

Il primo risultato significa che in ogni teoria formale di un certo tipo esisterà una proposizione non dimostrabile né confutabile.

Il secondo risultato mostra in particolare l'impossibilità di dimostrare la coerenza dell'aritmetica all'interno dell'aritmetica stessa.