Il semplice fatto di poter estrarre una carta da un mazzo di carte da gioco è un evento; è anche un evento il fatto che da un’urna contenente palline colorate si possa estrarre una pallina.

L’evento è pertanto un fatto che può avvenire e che è, quindi, sempre possibile.

Tuttavia l’evento può presentarsi sotto vari aspetti:

1. supponiamo di voler estrarre da un’urna contenente 12 palline bianche e 7 nere, una pallina bianca alla prima estrazione: se la pallina estratta risulta davvero bianca, l’evento è tale da soddisfare le nostre aspettative, parliamo, in tal caso di evento favorevole.
2. Se la pallina estratta non è bianca parleremo di evento contrario .

E’ evidente che la somma dei casi favorevoli e dei casi contrari è uguale al numero dei casi possibili.

Per calcolo delle probabilità si intende un insieme di regole che ci permettono il confronto , nell’ambito degli eventi possibili, tra quelli favorevoli e quelli contrari.

Sappiamo che vero e falso sono i valori di verità di una proposizione. Ebbene esistono delle proposizioni per le quali non è possibile un’immediata valutazione dei valori di verità e per le quali è solo possibile esprimere una valutazione sulla maggiore o minore possibilità che uno dei due valori si realizzi. Ciò è dovuto al fatto che per tali proposizioni il valore di verità dipende dal caso. Tali proposizioni sono dette EVENTI.

In molti esperimenti è possibile conoscere a–priori il numero dei casi favorevoli m e quello dei casi possibili n . Diremo probabilità di un evento E il rapporto tra il numero dei casi favorevoli m e quello dei casi possibili n, a patto che siano tutti ugualmente possibili.

p(E) = m / n

 In base alla sua stessa definizione, la probabilità è sempre un numero compreso tra 0 e 1, estremi inclusi.

Per m=0, cioè se non si hanno casi favorevoli, il rapporto p vale 0, mentre per m=n, cioè se tutti i casi sono favorevoli, il rapporto p vale 1. Nel primo caso l’evento considerato è detto impossibile, nel secondo caso è detto certo. In tutti gli altri casi si parla di evento aleatorio.

Immaginiamo di lanciare un dado. Può uscire un qualsiasi numero da 1 a 6 : l’evento che esca, ad esempio ,il numero 3 ha probabilità 1/6.

Ci chiediamo adesso se sia possibile valutare la probabilità che tale evento non si verifichi. Restano 5 casi favorevoli su 6 possibili: p=5/6.

Considerato l’evento E, la probabilità del suo contrario è p(¬ E) = 1-p(E)

Come si vede il calcolo della probabilità di un evento, mediante la definizione classica, si effettua senza che l’esperimento venga eseguito.

La definizione classica presenta alcuni punti deboli. Intanto la sua applicazione è legata all’effettiva possibilità di conoscere a-priori m ed n, inoltre prevede un ambiente ideale nel quale tutti gli eventi siano ugualmente possibili.

 A partire dal Novecento si cominciò a delineare una nuova concezione della probabilità legata ai seguenti due aspetti:

1. la possibilità di avere a disposizione un gran numero di osservazioni di un certo evento
2. la possibilità di valutare la frequenza con cui certi eventi si verificavano

Se è possibile effettuare praticamente un certo numero di prove e si verifica che, su n prove, l’evento E si è verificato m volte, chiamiamo frequenza il rapporto

f (E) = m / n

La frequenza e la probabilità sono concetti molto diversi, essendo la prima quantità calcolata

a-posteriori, cioè dopo aver effettuato l’esperimento, e la seconda una quantità, come già detto, calcolata a-priori.

Eseguendo un gran numero di prove, effettuate tutte nelle medesime condizioni, il valore della frequenza approssima il valore della probabilità e tale approssimazione è tanto maggiore quanto più alto è il numero delle prove effettuate.

Pertanto, relativamente ad un evento aleatorio che può essere osservato parecchie volte, definiamo probabilità il limite cui tende il rapporto tra il numero delle prove che hanno avuto un esito favorevole ed il numero totale delle prove fatte, quando queste tendono ad essere un numero molto grande:

num (prove favorevoli)

lim --------------------------------

num (prove fatte)

Occorre sottolineare che , con questa concezione, la probabilità di un evento viene determinata solo dopo aver effettuato delle osservazioni sperimentali e che essa non ha significato separatamente da tali prove.

Esistono però degli eventi per i quali non è applicabile nessuna delle due definizioni precedenti, eventi per i quali non è possibile conoscere a-priori m ed n e per i quali non è possibile calcolare neppure la frequenza, trattandosi di eventi unici. Nella maggior parte dei casi sono eventi aleatori di questo tipo quelli sui quali ci si trova a dover prendere decisioni. Un esempio classico è rappresentato dalla scommessa sul risultato di un avvenimento sportivo.

La probabilità di un evento in tali casi è rappresentata dal rapporto fra il prezzo P che un individuo coerente ritiene giusto scommettere e la somma S che ha diritto di avere in cambio se l’evento si verifica, perdendo invece la somma P se l’evento non si verifica:

p(E) = P / S

Esempio: se Giacomo è disposto a pagare in anticipo £. 40000 per avere in cambio £.100000 se il suo amico Ettore vincerà la gara di sci, significa che egli attribuisce probabilità 40000/100000 =2/5 all’evento " Ettore vince la gara". E’ evidente l’approccio di tipo soggettivo al problema.

Anche questo modo di concepire la probabilità dà origine ad un numero compreso tra 0 e 1 estremi inclusi.

Indicando con p la probabilità di vincere, quella di perdere è 1-p . Un gioco si dice equo se la probabilità di vincere sta alla probabilità di perdere come la posta P sta al guadagno S :

P : S = p : (1-p)

o anche, un gioco si dice equo se la somma S che il giocatore vince, nel caso che l’evento si verifichi, moltiplicata per la probabilità p che questo succeda è uguale al prodotto tra la posta P che prende il banco per la probabilità (1-p) che si verifichi l’evento opposto: S × p = P × (1-p).

Ma nella realtà i giochi equi sono pochi, perché l’ente pubblico o privato autorizzato a gestirli deve trattenere un compenso tale da coprire le spese di gestione e assicurarsi una certa quota di utile.

Lucia gioca contro il banco e la sua probabilità di vincere la somma di £. 210000 è di 2/7. Quanto dovrebbe essere la posta P perché il gioco sia equo?

P=2/7 ====è (1-p) = 1-2/7 = 5/7 210000 × p = P × (1-p)

210000 × 2/7 = P × 5/7 da cui si ricava P = 84000

MODELLO CLASSICO

Si adatta ad esperimenti aleatori come il lancio dei dadi. Non è adatto a valutare la probabilità di eventi in cui non si conosca il numero dei casi possibili o quello dei casi favorevoli.

MODELLO STATISTICO-FREQUENTISTA

Si adatta ad esperimenti aleatori che possono essere ripetuti molte volte e sempre nelle stesse condizioni e per i quali si hanno grandi masse di dati a disposizione.

MODELLO SOGGETTIVO

Esprime il grado di fiducia che si ha nella realizzazione di un evento e quindi, in esso, diventa preponderante il fattore personale.

Questo modo di pensare alla probabilità non è relativo soltanto alle scommesse, ma anche alle tecniche di gestione aziendale. Per esempio, se un'azienda deve organizzare la produzione di un nuovo prodotto da immettere sul mercato e vuole valutare la probabilità che esso abbia successo non può usare né la concezione classica, né quella frequentista; deve analizzare le condizioni del mercato e, sulla base delle conoscenze acquisite e della fiducia nella bontà del prodotto, giungere o meno alla decisione di produrlo.

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