Di due esperimenti aleatori può capitare di dover valutare la probabilità che si verifichino insieme o in alternativa.

Si dice evento UNIONE di E1 ed E2 l’evento che si verifica quando si verifica almeno uno degli eventi E1 o E2:

Si dice evento INTERSEZIONE di E1 ed E2 l’evento che si verifica se si verificano entrambi gli eventi E1 ed E2:

Due eventi si dicono INCOMPATIBILI se il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro. In caso contrario i due eventi si dicono COMPATIBILI.

Supponiamo di estrarre da un mazzo di carte da gioco una carta. L’evento E1 estrazione di una carta rossa e l’evento E2 estrazione di una figura sono compatibili, perché è possibile estrarre una figura rossa.

La probabilità dell’evento unione di due eventi incompatibili è la somma delle probabilità dei singoli eventi.

La probabilità dell’unione di due eventi E1 ed E2 è uguale alla somma delle probabilità di ciascun evento diminuita della probabilità dell’evento intersezione dei due dati.

Calcoliamo la probabilità che, lanciando un dado venga un numero pari, cioè la probabilità che esca 2 oppure 4 oppure 6. Sono eventi che non possono capitare insieme: succede o l’uno o l’altro, perché tirando un dado viene fuori una sola faccia. Quando abbiamo a che fare con eventi di questo tipo, e cioè eventi incompatibili, dobbiamo sommare la probabilità dei singoli eventi. Quindi, dato che ogni numero pari ha 1/6 di probabilità ed i numeri pari sono 3, la probabilità che esca un numero pari è 3/6 = 1/2 = 50%.

Gli alunni di una classe sono 30: di questi 10 giocano a calcio, 8 a tennis, 4 ad entrambi. Se l’insegnante di educazione fisica ne chiama uno a caso, che probabilità ha che questo ragazzo sia in grado di praticare almeno una delle due attività considerate?

p(E1) = 10/30 = 1/3 (10 su 30 giocano a calcio)

p(E2) = 8/30 = 4/15 (8 su 30 giocano a tennis)

p(E1 Ç E2) = 4/30 = 2/15 (4 praticano entrambi gli sport)

p(E1 È E2) = 1/3 + 4/15 – 2/5 = 7/15

Due eventi si dicono INDIPENDENTI se il verificarsi di uno dei due non influenza il verificarsi dell’altro. Si dice, invece, probabilità dell’evento E2 condizionata ad un evento E1, e si scrive p(E2/E1), la probabilità di E2 , supposto che E1 si sia verificato.

 Ad esempio, consideriamo il gioco della roulette. Gli eventi E1: uscita di un numero rosso ed E2: uscita di un numero pari sono indipendenti. Infatti il verificarsi dell’uno non influisce sul verificarsi dell’altro. Se, invece, si estrae una pallina bianca da un’urna contenente palline bianche e nere e, senza reinserirla nell’urna se ne estrae un’altra, la seconda estrazione è condizionata alla prima. Variano sia i casi possibili (le palline rimaste), sia i casi favorevoli.

La probabilità dell’evento intersezione di due eventi indipendenti è il prodotto delle probabilità dei singoli eventi.

La probabilità dell’evento intersezione di due eventi indipendenti E1 ed E2, di cui il secondo dipende dal primo, è data dal prodotto della probabilità di E1 per quella di E2 condizionata ad E1:

Immaginiamo ora di voler calcolare la probabilità che, lanciando un dado, venga fuori due volte di seguito il numero 5, o che, lanciando due dadi, da entrambi esca il numero 5. In ogni caso, con due dadi o con due lanci, si tratta di eventi indipendenti: quello che succede su un dado o su un lancio non influenza quello che succede sull’altro. Dobbiamo quindi moltiplicare la probabilità del primo (1/6) per quella del secondo (1/6) : il prodotto (1/36) è la probabilità composta dei due eventi indipendenti.

Si estrae una carta da un mazzo di 40 e, dopo averla guardata e reinserita nel mazzo, se ne estrae una seconda. Si vuole calcolare la probabilità dell’evento E: esce un cavallo e una carta di bastoni. L’evento E è la combinazione di due eventi E1: "la prima carta estratta è un cavallo" ed E2: "la seconda carta estratta è di bastoni". E si verifica soltanto se si verificano sia E1 che E2, quindi è la loro intersezione, inoltre il verificarsi del primo evento non modifica la probabilità che si verifiche il secondo, quindi i due eventi sono indipendenti.

p(E1) = 1/10 p(E2) = 1/4 ==è p(E) = 1/40 (prodotto delle probabilità)

Se invece, nella stessa situazione, si vuole calcolare la probabilità dell’evento F: "esce un Re o un 2 di ori" , si devono sommare le probabilità dei due eventi:

p(F1) = 1/10 (ci sono 4 Re in un mazzo di 40 carte)

p(F2) = 1/40 (c’è un solo 2 di ori)

===è p(F) = 1/10 + 1/40 = 5/40 = 1/8

Una ciotola contiene 20 confetti tutti uguali tra loro esteriormente, dei quali 14 sono di cioccolato. Angelo mangia 2 confetti. Se il primo è di cioccolato, qual è la probabilità che lo sia anche il secondo?

E1 = il primo confetto è di cioccolato p(E1) = 14/20 E2 = il secondo confetto è di cioccolato

I due eventi sono dipendenti perché la probabilità del secondo viene influenzata dal primo.

p(E2/E1) = 13/19 infatti sono rimasti 19 confetti dei quali 13 di cioccolato.

p(E1 Ç E2) = 7/10 × 13/19 = 91/190

Ovviamente il calcolo delle probabilità va al di là dei pochi concetti che sono stati illustrati e sarebbe errato pensare che esso riguarda lo studio dei soli giochi.

Ci limiteremo a ricordare brevemente i contributi del calcolo delle probabilità alla teoria cinetica dei gas, alla meccanica ondulatoria, alla genetica. Inoltre nella vita economica di ogni civiltà moderna non vi è piano operativo a breve o lunga scadenza che non debba fare i conti con la presenza determinante di numerosissime variabili aleatorie.

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