Un paradosso è un'affermazione che, almeno in apparenza, conduce ad una contraddizione nei termini.

La nozione di paradosso, in logica ed in matematica, ha una lunga storia. Già San Paolo, ad esempio, ne citava uno formulato dal filosofo cretese Epimenide e noto come il

PARADOSSO DEL MENTITORE

Epimenide affermava:

"I cretesi sono tutti bugiardi"

Ora, essendo Epimenide cretese, come è possibile fidarsi di lui?

Se egli dice la verità, allora è esso stesso bugiardo e quindi forse sta mentendo: ciò contraddice l'ipotesi che stia dicendo la verità.

Se invece mente, allora non è vero che i cretesi sono bugiardi ed, essendo egli cretese, sta dicendo la verità, ancora contro l'ipotesi di partenza.

PARADOSSO DI ACHILLE E LA TARTARUGA

che si può formulare nel seguente modo:

Il "piè veloce" Achille ed una pigra tartaruga si sfidano ad una gara di corsa ed Achille, bonariamente, concede alla tartaruga un vantaggio di 1000 unità lineari. Ebbene Zenone sostiene che :

Achille non raggiungerà mai la tartaruga

nonostante la sua velocità sia maggiore di 5 volte rispetto a quella della tartaruga stessa. Infatti, mentre Achille, partendo dal punto A0, percorre il vantaggio concesso A0A1, la tartaruga si sposta da T0 a T1 (con T0T1 = A0A1/5) e così via. Cosicchè, mentre è vero che Achille si avvicinerà sempre più alla tartaruga è pur vero, secondo Zenone, che ne risulterà sempre distanziato di un certo spazio.

L'errore di Zenone si può mettere in evidenza osservando che il tempo impiegato da Achille a raggiungere la tartaruga, così come lo spazio da lui percorso in tale tempo, possono essere suddivisi in un'infinità di parti che divengono sempre più piccole e costituiscono i termini di una progressione geometrica decrescente: le somme di tutti questi termini danno il tempo "finito" e lo spazio "finito" in corrispondenza dei quali Achille raggiungerà la tartaruga. Ma Zenone negava appunto che il tempo e lo spazio potessero essere infinitamente divisibili. I matematici dell'epoca di Zenone non conoscevano le progressioni geometriche: l'ingresso ufficiale dell'infinito in matematica avviene soltanto nel Seicento.

La scoperta dei paradossi ha avuto come effetto quello di infondere nei matematici una profonda sfiducia nel loro strumento più prezioso: l'intuizione.

Si potrebbe, paradossalmente, affermare che la scienza del '900 deve buona parte dei suoi successi all'accettazione dei propri limiti.