DAVID HILBERT (1862-1943), é considerato il fondatore della teoria assiomatica. All'inizio del XX secolo sorse tra i matematici una nota controversia, che si può riformulare in questi termini: "Quali sono le caratteristiche di affidabilità che una dimostrazione matematica deve possedere?" Nel tentativo di risolvere questa controversia, egli introdusse i:

SISTEMI FORMALI

formati da:

* un alfabeto finito di simboli nei cui termini sono scritte tutte le proposizioni

* una grammatica priva di ambiguità, che specifica le regole di composizione dei simboli e di formazione delle proposizioni dotate di significato

* un insieme di assiomi, ovvero di principi accettabili senza dimostrazione e di regole di inferenza per derivare i teoremi dagli assiomi o da altri teoremi

I teoremi si isolano scrivendo tutte le successioni di simboli compatibili con la grammatica del sistema e controllando quali risultano in accordo con le regole di inferenza e, quindi, rappresentano dimostrazioni corrette.

Un sistema formale può essere inteso come rappresentazione dei processi di generazione dei calcoli e può essere identificato con una macchina che lo realizza. Un sistema formale è definito in modo talmente preciso che la correttezza di una dimostrazione che si svolge in esso può essere controllata per mezzo di una procedura ricorsiva comprendente solo semplici manipolazioni di natura logica ed aritmetica. In altre parole, nel sistema formale esiste un algoritmo per controllare la validità delle dimostrazioni.

HILBERT presentò nel 1900 al Congresso Internazionale dei matematici, tenutosi a Parigi, una serie di problemi irrisolti. Tra questi:

dimostrare che gli assiomi dell'aritmetica sono coerenti

scoprire un metodo generale per stabilire se una formula della logica formale può risultare vera (PROBLEMA DELLA DECISIONE)

Se si trovava un metodo per determinare la verità o la falsità di qualunque enunciato della logica formale, allora quel metodo poteva determinare anche la verità o la falsità di qualunque enunciato matematico e ciò avrebbe ridotto tutta la matematica al calcolo meccanico.