Quesito D proposto agli Esami di Stato 2002/2003
TESTO
Un aeromobile parte da A (lat.45° N; long. 008° E) e segue l'ortodromia definita dalla rotta iniziale TC = 045°.
Un secondo aeromobile parte da B (lat. 45° N; long. 068° E) e segue l'ortodromia definita dalla rotta iniziale TC=315°.
Il candidato calcoli le coordinate del punto di intersezione tra le due ortodromie.

Soluzione

Costruiamo la scena:

L'angolo

è uguale a :

360° - 315° = 45°

CA = CB = 45°

DlAB = 68° - 8° = 60°

Si applica il teorema di Eulero al triangolo sferico A-P-B per il calcolo della dAB :

cos dAB = cos CA cosCB + senCA senCB cosDl =

= cos 45° cos45° + sen45° sen45° cos60° = 0.75

dAB = arc cos 0.75 = 41.4° = 2484.57 NM (distanza ortodromica AB)

Si applica il teorema di Eulero al triangolo sferico A-P-B per il calcolo della rotta iniziale:

cosCB = cos CA cos dAB + senCA sen dAB cos Ri

L'angolo

è uguale all'angolo

(= 67.8° - 45°) = 22.8°.

Si applica la regola di Vieta al triangolo sferico A-X-B per il calcolo della d_AX :

( N. B. Si sarebbe potuto applicare indifferentemente il teorema di Eulero)

cotg d_AX sen 41.4° = cos 41.4°cos22.8° + sen22.8° cotg22.8°

d_AX = arctg 0.4 = 22° 17' = 1337.3 NM

Si applica il teorema di Eulero per il calcolo di C_X :

cos C_X = cosC_A cos d_AX + senC_A sen d_AX cos45° =

= cos45°cos22.17°+ sen45°sen22.17°cos45° = 0.84

C_X = arc cos 0.84 = 32.44° = 32° 27'

Si calcola, a questo punto, j_X , latitudine del punto d'incontro:

j_X = 90° - C_X = 57° 33' N

Si applica ora il teorema di Eulero per il calcolo di Dl_AX.

cos d_AX =cosC_A cosC_X + senC_A senC_XcosDl_AX

cosDlAX =

Dl_AX = arc cos 0.866 = 80° E

l_X =l_A + 30° = 38° (longitudine del punto d'incontro)

In definitiva X = ( 57° 33' N ; 38° E )

Concludiamo spendendo due parole sul calcolo dei vertici delle due ortodromie, benchè non sia richiesto esplicitamente dal problema. Come si evince dalla fig. 1), i vertici delle due ortodromie stanno alla stessa latitudine (j = 60° N ) ma a longitudini diverse, precisamente:

cotg Dl_AV1 = senj_A tg R_i = sen 45° tg 45°

mentre:

Invece le latitudini dei vertici V₁ e V₂ coincidono, infatti, essendo:

cosj_V = cosj senR_i

ed avendo j ed R_i gli stessi valori nei punti A e B, segue che: j_V1= j_V2= 60°

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