PAGINA INIZIALELa teoria degli insiemi, sviluppata da GEORG CANTOR (1845 - 1918), inizia con la seguente definizione:
"Per insieme intendiamo ogni riunione, raccolta, aggregato , classe di oggetti……."
La critica alla precedente definizione è abbastanza scontata: per definire un insieme si usano vocaboli come aggregato, classe,…, che di certo non sono più chiari della parola "insieme".
Nelle intenzioni di CANTOR la teoria degli insiemi è una teoria intuitiva ed il concetto di insieme è di natura primitiva. Fare una teoria "ingenua" degli insiemi significa non dare una vera e propria definizione di insieme, ma limitarsi ad una spiegazione che abbia valore indicativo non riconducibile a concetti più precisamente definiti.
Desideriamo qui accennare ad una delle perplessità scaturite dalla concezione cantoriana di insieme:
l'antinomia di BERTRAND RUSSEL:
"Possiamo concepire insiemi che comprendono se stessi come elementi?"
Ad esempio l'insieme dei concetti appartiene a se stesso, essendo un concetto.
L'insieme dei triangoli, non essendo un triangolo, non comprende se stesso come elemento.
Indichiamo allora con A l'insieme di tutti gli insiemi che comprendono se stessi come elemento e con B l'insieme di tutti gli insiemi che non comprendono se stesso come elemento. Tale sistemazione soddisfa il principio di non contraddizione?
Se con X indichiamo un insieme qualunque, o X Î A oppure X Î B. Ora ci chiediamo:
"L'insieme B così definito contiene se stesso come elemento?"
Se rispondiamo di si, B godrebbe della proprietà che caratterizza gli elementi di B (cioè non contiene se stesso)
Se rispondiamo di no, B deve essere un elemento di A e quindi contiene se stesso come elemento.
Come uscire dalla contraddizione? La logica matematica deve intervenire: l'antinomia cade una volta che sia data un'accettabile definizione di insieme, rinunciando alla veduta "ingenua". In tal caso, data una definizione di insieme, la totalità di tutti gli insiemi non può essere essa stessa un insieme.
Cantor, come abbiamo già detto, elaborò la teoria degli insiemi, la quale vuole essere una trattazione di tutte le possibili infinità di oggetti pensate ciascuna come una totalità. Il grande contributo originale dato da Cantor consiste nell'idea della corrispondenza biunivoca come metodo di confronto della numerosità degli elementi di due insiemi infiniti e nella coerenza intellettuale con i quali affrontò i risultati paradossali che da quel metodo derivavano.
