Col nome di geometrie non euclidee si designano costruzioni scientifiche che ebbero origine da ricerche d’indole critica su proposizioni fondamentali della geometria e assursero gradatamente a sviluppo autonomo di notevole importanza.

Più che opera di produzione originale, i tredici libri degli ELEMENTI sono l’esposizione in forma di trattato organico di ciò che il genio greco aveva creato nel campo matematico in circa tre secoli di attività mirabile e fecondissima.

Euclide, nei suoi ELEMENTI, fornisce dapprima alcuni termini con le relative spiegazioni (DEFINIZIONI) , formula poi alcune proposizioni (ASSIOMI) che riguardano i termini già spiegati e che sono senz’altro da accettare come verità riconosciute da tutti.

Gli altri elementi della teoria sono definiti successivamente per mezzo di quelli primitivi e tutte le altre proposizioni (TEOREMI) vengono dedotte dagli assiomi o da altri teoremi già dimostrati.

Una delle proposizioni ammesse da Euclide senza dimostrazione, ed esplicitamente enunciata come Vº postulato ha fermato già anticamente in modo speciale, l'attenzione dei commentatori. Si tratta della proposizione seguente:

"Se una linea retta, incontrandone altre due, forma gli angoli interni da una medesima parte minori di due angoli retti, quelle due rette prolungate all'infinito si incontrano dalla parte in cui sono i due angoli minori di due retti"

Questo postulato, quando sia preventivamente ammessa la proprietà della retta di avere lunghezza infinita (sostanzialmente il IIº postulato), equivale all'affermazione che per un punto dato si può condurre una e una sola parallela a una retta data.

Ciò che ha fermato l'attenzione dei primi commentatori, e che forse ad Euclide stesso era già apparso come un'imperfezione, è che esso contiene un'affermazione di evidenza assai meno immediata e completa degli altri postulati.

Fra i commentatori di Euclide, parecchi cercarono di togliere di mezzo la difficoltà contenuta nel Vº postulato; tuttavia i tentativi fatti approdarono a pseudodimostrazioni, in cui il postulato delle parallele era stato sostituito, in forma più o meno evidente, da un altro postulato ad esso equivalente. Nel 1763 lo studente tedesco G.S. KLÜGEL mostrò, nella sua pubblicazione:

"Conatum Praecipuorum Theoriam Parallelarum Demostandum Recensio"

che 28 dimostrazioni del Vº postulato di Euclide, tra le più significative, erano false.

Il più importante tra i tentativi di dimostrazione era stato, senza dubbio, quello del padre gesuita Gerolamo Saccheri (1667-1733), docente di matematica presso l'università di Pavia, che, nel trattato:

EUCLIDES AB OMNI NAEVO VINDICATUS

credette di aver dimostrato il postulato delle parallele mediante un ragionamento per assurdo, negando cioè il postulato stesso e cercando di giungere ad un'antinomia.

Saccheri era convinto di due cose:

1. che l'enunciato era vero
2. che esso poteva essere dedotto dai precedenti e, quindi, diventare teorema

Saccheri dedicò, si può ben dire, tutta la sua vita alla ricerca di questa dimostrazione. La tecnica dimostrativa da lui adottata è questa:

1. supporre vera la negazione del postulato delle parallele
2. dedurre dal nuovo sistema di assiomi (i primi quattro più la negazione del quinto) tutta una serie di teoremi loro conseguenza
3. pervenire ad un assurdo

Egli credette di realizzare anche il terzo punto del suo programma, ma in verità giudicò assurda una conclusione che era semplicemente contrastante con l'intuizione nello spazio ordinario; portò invece molto avanti il secondo punto, costruì cioè per primo una teoria geometrica nella quale per un punto passano due parallele ad una retta: una geometria non euclidea.

 Oggi col nome di geometrie non euclidee si designano di solito cumulativamente due diverse teorie: