Sfera trigonometrica e triangolo sferico



Supponiamo che il nostro ambiente geometrico non sia il piano euclideo ma la superficie di una sfera. Gli enti geometrici fondamentali nel piano euclideo sono punti e rette; proviamo a capire quali siano gli enti corrispondenti sulla superficie di una sfera.
Ai punti del piano corrispondono naturalmente i punti della sfera. Ma cosa dobbiamo intendere per "linea retta" sulla superficie sferica?
Così come nel piano la linea retta è il cammino più breve che unisce il punto A al punto B, sulla sfera seguiremo il cammino più breve per andare da A a B percorrendo un arco di circonferenza massima, come di seguito specificato. E' evidente allora che, muovendoci su una sfera, la "retta" diventa una circonferenza massima e pertanto una linea finita e chiusa (GEOMETRIA NON EUCLIDEA di tipo ellittico).
Le circonferenze massime ottenute dall'intersezione di un piano passante per il centro della sfera con la sfera stessa le chiameremo ortodromie. Ortodromia deriva dal greco e significa cammino diritto. Naturalmente, assimilando la Terra ad una sfera, le proprietà geometriche del circolo massimo varranno conseguentemente per il nostro pianeta. I meridiani sono ortodromie, particolari ortodromie passanti per i poli geografici. L'ortodromia è il percorso più breve che unisce due punti, ma, attenzione, taglia i meridiani sotto angoli variabili.


Richiami sulle coordinate geografiche >>>

 

 

Si dice distanza sferica fra due punti A e B, o arco di ortodromia tra A e B, l’arco di circolo massimo, sotteso ad un angolo minore di 180°, che ha per estremi quei punti. La distanza viene normalmente misurata in gradi e corrisponde all’angolo al centro sotteso.

Due punti P, P' sulla superficie di una sfera si dicono agli antipodi (o opposti) se sono allineati con il centro O della sfera. Vedi i punti P e P' nella Figura seguente:

Poli di un circolo massimo:
Si dicono poli della circonferenza massima i punti ottenuti dall'intersezione del diametro normale al piano della circonferenza massima, con la sfera stessa. Essi sono quindi gli estremi del diametro della sfera, perpendicolare al piano del circolo e passante per il centro della sfera. In Fig.3 i punti C e C' sono i poli del circolo massimo s.

Angolo fra due circoli massimi:
è l’angolo formato dalle tangenti in uno dei loro due punti comuni ( Fig. 4). Se uno dei due circoli passa per i poli dell’altro, l’angolo fra i due è retto come in Fig. 4 Bis.


Proprietà dell'ortodromia >>>

 

 

Problematiche della navigazione ortodromica
La navigazione ortodromica è una navigazione che viene usata quando si devono effettuare navigazioni oceaniche, cioè quando le distanze sono grandi e si rende quindi necessario seguire il percorso più breve.
In questa navigazione è fondamentale conoscere le coordinate dei vertici dell'ortodromia, potendo questi capitare in zone pericolose per ragioni politiche o per ragioni geografiche: si ricordi infatti che al crescere della latitudine diminuisce l'affidabilità sia della bussola magnetica che degli strumenti giroscopici a causa rispettivamente dell'indebolimento della componente orizzontale del campo magnetico terrestre e delle precessioni apparenti. Quando non è possibile seguire l’ortodromia per i motivi suddetti, si adotta la strategia della navigazione mista, che consiste nello stabilire un parallelo da non superare e volare parzialmente seguendo il parallelo, parzialmente seguendo l' ortodromia.
Per superare le problematiche connesse a questo tipo di navigazione è necessario servirsi di opportuni teoremi di trigonometria sferica.

Triangolo sferico:
Il triangolo sferico ABC, propriamente detto euleriano, è quello i cui lati sono archi di circonfernze massime, passanti per tre punti che non devono appartenere allo stesso circolo massimo. I lati del triangolo sferico sono le lunghezze degli archi AB = c, BC = a, CA = b e si misurano in gradi e quindi in primi, ricordando che un primo di circonfernza massima è un miglio nautico. Gli angoli sono a , b, g .

Un angolo è formato dalle tangenti ai due circoli massimi passanti per esso. Se uno dei due circoli passa per i poli dell’altro, l’angolo fra i due è retto. Ponendoci al centro della sfera e considerando la circonfernza massima passante per A e B, se uniamo il centro O della sfera terrestre con A e B, l'arco AB sottende l'angolo al centro AOB, che è misurato in gradi.

Eccesso sferico:Si definisce eccesso sferico la differenza

e = a + b + g -180°
Questa definizione ha senso in quanto nei triangoli sferici la somma degli angoli interni può superare abbondantemente i 180°. Conseguentemente i noti teoremi di trigonometria piana, per i triangoli sferici, diventano più complicati.

In navigazione il triangolo sferico si chiama triangolo ortodromico ed avrà come vertici certamente i due punti dell'ortodromia e come terzo vertice uno dei poli geografici.

Si è convenuto di adottare la convenzione di assunere come terzo vertice il polo geografico dell'emisfero del punto di partenza. La scelta del terzo vertice come polo geografico della latitudine di partenza sarà determinante nell'attribuzione dei segni nelle formule che interverranno nei teoremi di seguito trattati.

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