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Teorema di Eulero (o del coseno)
Il teorema di Eulero afferma che, in un triangolo sferico, il coseno
di un lato è uguale al prodotto dei coseni degli altri due lati più
il prodotto dei seni degli stessi per il coseno dell'angolo compreso
:
Cos a = Cos b Cos c + Sen b Sen c Cos a
Cos b = Cos a Cos c + Sen a Sen c Cos b
Cos c = Cos a Cos b + Sen a Sen b Cos g
Questo teorema può essere utilizzato nel calcolo della distanza ortodromica d di un triangolo sferico ABP ( vedi Fig.2B), di cui si conoscano le coordinate geografiche del punto di partenza e di arrivo. In tal caso, il valore di d, espresso in primi d'arco, rappresenterà la distanza in miglia (sempre supponendo la terra sferica).
cos d = cos CA
cos CB
+ sen CA
sen CB
cosDl
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La formula è naturalmente algebrica, cioè occorrerà badare ai segni di ciascun termine, rispettando la convenzione di aver scelto come terzo vertice del triangolo ortodromico, il polo dell'emisfero del punto di partenza. In base a tale convenzione, immaginando che il punto di partenza e quello di arrivo siano nello stesso emisfero, tenendo presente che:
cos(90°-j
) = senj;
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sen(90°-j)
= cosj;
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il teorema di Eulero assume la forma semplice:
cos d = sen
jA
sen jB
+ cos jA
cos jB
cosDl
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Ma se il punto di partenza e quello di arrivo stanno in emisferi opposti, essendo
cos(90°+ j ) = - senj; | sen(90°+ j) = cosj; |
le cose inevitabilmente si complicano e si dovrà prestare attenzione all'attribuzione dei segni. Si rammenti che le complicazioni più grandi della navigazione ortodromica scaturiscono dal fatto che i punti di partenza e di arrivo si trovano in emisferi opposti.
Teorema dei seni
In un triangolo sferico il rapporto fra il seno di un angolo ed il seno
del lato opposto è costante.
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Regola di Vieta o formula delle cotangenti
E' una formula empirica che lega tra loro quattro elementi consecutivi
di un triangolo sferico: due lati e due angoli. La regola è descritta
dalla seguente struttura di formula:
Cotg ( ) Sen ( ) = Cos ( ) Cos ( ) + Sen ( ) Cotg ( )
Per individuare gli argomenti delle sei funzioni trigonometriche si procede come segue:
Si disegna dapprima il triangolo sferico e dentro di esso una particolare linea spezzata come nella figura seguente:
Gli argomenti restano individuati rispettando l'ordine delle frecce della spezzata, con l'accortezza di ripetere due volte gli elementi corrispondenti alle freccette: il lato CA e l' angolo Dl.
Approfondimento >>>
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Si parte dal lato CB, si va verso il lato opposto CA , e lo si ripete due volte, si va all'angolo compreso Dl e lo si ripete due volte, infine si va al rimanente angolo (nel nostro caso è l'incognita Ri ).
Pertanto, la formula si precisa come segue:
Ctg CBSen
CA
= Cos
CA
Cos Dl
+ Sen Dl
Ctg Ri
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dove Ri, CA, Dl, CB sono i quattro elementi consecutivi presi in esame. Nelle problematiche di navigazione, si sa che CA, Dl, CB sono spesso elementi noti, pertanto la suddetta formula servirà essenzialmente per il calcolo dell'unica incognita : la rotta iniziale Ri .
Anche qui la formula è naturalmente algebrica, cioè occorrerà badare ai segni di ciascun termine, rispettando la solita convenzione di aver scelto come terzo vertice del triangolo ortodromico, il polo dell'emisfero del punto di partenza. In base a tale convenzione, immaginando che il punto di partenza e quello di arrivo siano nello stesso emisfero, tenendo presente che:
ctg(90°-a
) = tga;
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sen(90°-a)
= cosa;
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cos (90°-a)
= sena
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la regola di Vieta ci consente di determinare la rotta iniziale attraverso la formula:
Se il punto di partenza e quello di arrivo stanno in emisferi opposti, per il fatto che:
ctg (90° + a) = - tga
anche qui le cose inevitabilmente si complicano e si dovrà fare particolare attenzione all'attribuzione dei segni.
Allora la rotta iniziale, essendo un angolo di un triangolo sferico e potendo quindi raggiungere il valore di 180°, verrà espressa nel sistema semicircolare (cioè da 0° a 180°) e sarà preceduta da un prefisso che dipende dall'emisfero del punto di partenza e da un suffisso che dipende da Dl, come per la lossodromia. In questo caso, la regola di VIETA, pur rimanendo valida matematicamente, può perdere di validità nelle applicazioni di navigazione ( le convenzioni sugli angoli si scontrano con le convenzioni che attribuiscono al Nord e all'Est il segno + e al Sud e all'Ovest il segno -).
La regola mnemonica di Nepero
La regola mnemonica di Nepero è valida solo per triangoli sferici rettangoli.
Non è altro che il teorema di Eulero nel caso particolare che un angolo sia
retto.
Questa regola viene principalmente utilizzata nel calcolo delle coordinate dei vertici, e ciò perché il vertice dell'ortodromia incontra il meridiano in un angolo retto. In vero questa regola conosce diverse applicazioni, consentendo infatti di verificare molte proprietà dell'ortodromia.
Sia dato il triangolo sferico rettangolo in V (vedi Fig. 4B).
In questo triangolo è sufficiente conoscere soltanto due elementi (e non più tre come per Eulero e Vieta) per determinare tutti i dati incogniti; anche se di fatto gli elementi noti continuano ad essere 3, essendo il terzo pari a 90°. Nepero, per questi triangoli, ha trovato una regoletta che è ricordata con il suo nome: regola mnemonica di Nepero.
Immaginiamo di considerare un pentagono, il pentagono di Nepero: cinque raggi che lasciano liberi 5 posti. Inseriamo ogni elemento del triangolo sferico in uno dei 5 posti a disposizione, in senso orario, con il seguente criterio: si esclude l'angolo retto (infatti gli elementi del triangolo sono 6, mentre i posti a disposizione nel pentagono sono 5, bisognerà sopprimerne uno).
Nel pentagono, al posto dei cateti, si inseriscono i loro complementi (90°- cateto); nei rimanenti tre posti si mette l'ipotenusa CA e gli altri due angoli Dl ed Ri.
In ogni settore del pentagono si scrivono consecutivamente tutti gli elementi del triangolo saltando l'angolo retto e sostituendo i cateti con i loro complementi. Il coseno di un elemento è uguale al prodotto delle cotangenti degli elementi adiacenti oppure è uguale al prodotto dei seni degli elementi opposti (lontani).
Calcolo delle coordinate dei vertici
Nel calcolo delle coordinate dei vertici, le incognite sono: jV e lV, cioè CV e DlAV , mentre i dati sono le coordinate del punto di partenza e la rotta iniziale. Così costruiamo il pentagono di Nepero ed incominciamo il calcolo di DlAV che consentirà di conoscere lV.
Scegliamo come elemento centrale CA. Allora:
cos CA = cotg Ri cotg Dl AV
da cui, ricordando che cos (90° - j) = sen j si ha:
cotg Dl AV = sen jA tg Ri | (*) |
Questa è la formula che consente il calcolo della differenza di longitudine tra il punto di partenza ed il vertice. Riferendoci sempre alla stessa figura, per determinare la latitudine del vertice jV, scegliamo come elemento centrale (90° - Cv) e gli altri elementi entrambi lontani. Allora ricordando quello che dice Nepero, dopo semplici passaggi si avrà:
cos jV = cos jA sen Ri | (**) |
che è la formula che dà la latitudine del vertice. Quindi la (*)
e la (**) ci permettono di ottenere le coordinate
dei vertici conoscendo le coordinate del punto di partenza e la Ri
.
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